Fa poc vaig caminar per la via verda que va de Girona a Olot. És una experiència que us recomano, si no ho heu fet encara i us agrada caminar. El camí segueix la via del tren que va construir la burgesia industrial del segle XIX per a transportar el suro. Era al matí i feia fred. Alguns trams estaven gebrats. Ben aviat em vaig adonar que el camí només estava gebrat quan passava pel damunt dels ponts de la via del tren, dels viaductes que els nostres besavis havien construït per a evitar barrancs i torrenteres.

Per què trobem gebre damunt dels ponts i no en veiem quan passem per camins en terra ferma? Doncs perquè els objectes prims s’escalfen i es refreden més ràpidament que els gruixuts. Ens ho va explicar en Jean-Baptiste Fourier fa 190 anys, quan va descobrir les lleis físiques que regulen la transmissió i conducció de la calor. La temperatura atmosfèrica oscil·la cada 24 hores, i les nits són sempre més fredes que els dies. La terra dels camins i l’aigua dels rius i llacs segueixen les variacions diürnes i estacionals de temperatura, però ho fan lentament, amb parsimònia i moderació, perquè escalfar i refredar és quelcom que demana temps. Encara que tinguem el forn a 200 graus, si hi posem un tall rodó i el deixem només mitja hora dins el forn, no haurem fet res. Sabem per experiència que si volem coure un tall rodó necessitem molt més temps que si volem cuinar uns quants filets prims de pollastre, i que si volem fer una peça sencera de carn a l’ast, haurem de dedicar-hi unes quantes hores. Els camins que passen per damunt dels ponts i les carreteres dels viaductes no són pas gaire gruixuts, perquè la capa de materials i terra sota seu i damunt els arcs de sustentació és prima. Quan a la nit cau la temperatura, es refreden i fàcilment poden arribar a estar sota cero. És el que passa a tot allò que és prim i que hem deixat a la intempèrie. Durant les nits d’hivern, les parets exteriors dels porxos es refreden igual que els camins damunt els ponts i les torres elèctriques. La terra ferma, en canvi, es refreda molt menys perquè és gruixuda i té una conductivitat tèrmica baixa. El fenomen no és trivial perquè aquesta conductivitat tèrmica del sòl és funció de factors com la humitat i la composició física. Però també és ben conegut que, a una profunditat d’un o dos metres, desapareixen els canvis de temperatura diürns. La temperatura és estable al llarg dels dies, i només canvia molt suaument entre estiu i hivern. De fet, si anem a més profunditat, desapareixen fins i tot els canvis estacionals i la temperatura és constant tot l’any. És el que experimentem quan baixem a les estacions del metro. Quan el gruix de terra és gran, les ràpides variacions de temperatura entre dia i nit s’esmorteeixen fins desaparèixer, i deixem de notar-les de la mateixa manera que la part central d’un tall rodó no rep la calor d’un forn que hem encès poca estona. Però quan les condicions es mantenen molt més temps, tot acaba escalfant-se o refredant-se. Podem coure el tall rodó, i els habitants de les zones àrtiques coneixen molt bé el fenomen del permagel. La temperatura depèn del temps i del gruix. Les nostres nits fredes i gebradores són massa curtes per a poder refredar fins i tot les capes superficials de la terra ferma.

Jean-Baptiste Fourier va estudiar a l’École Normale Supérieure de París, i va tenir com a professors Pierre-Simon Laplace, Joseph Louis Lagrange i Gaspard Monge. Quasi res. Fourier va publicar la seva “Teoria analítica de la calor” l’any 1822, tot inspirant-se en la llei del refredament que ja havia formulat Newton. A més, a partir de la teoria de la calor va desenvolupar les conegudes sèries de Fourier. Laplace havia descobert les lleis de l’equilibri tèrmic i de la difusió. Fourier les va estendre i va explicar el que passa quan encara el sistema no ha arribat a l’equilibri, durant l’anomenat règim transitori. Va plantejar les lleis que expliquen la variació de temperatura en funció del gruix i al llarg del temps i la llei que descriu el refredament del sòl i de tots els objectes que són a l’aire lliure durant la nit. És clar que l’estudi dels canvis de temperatura i de la transmissió de la calor té denominació d’origen: va ser cosa dels francesos.

L’equació de Laplace és una equació en derivades parcials de segon ordre. El nom no ens ha d’espantar. En física, les equacions en derivades parcials expliquen el comportament no de les magnituds físiques, sinò el de les seves variacions. L’equació de Laplace explica tant el comportament de la temperatura com el de tots els fenòmens de difusió. Bàsicament, diu que la natura i l’univers detesten els bonys i les irregularitats. Suposem que en un cert instant mesurem, amb una sonda, la temperatura del sòl en punts equidistants i de profunditat creixent. Si prenem mesures cada 2 centímetres, amb 100 mesures tindrem informació de la temperatura de la terra fins als dos metres de profunditat. Doncs bé, l’equació de Laplace ens diu que tot plegat és com si els punts on hem pres les temperatures fossin petits éssers vius que volen romandre en harmonia amb els seus veïns. Cada punt “observa” la temperatura dels seus dos veïns, en fa la mitjana, i intenta assolir aquesta temperatura mitjana (en realitat, la mitjana es fa en base als veïns immediats en totes les direccions, però en el nostre cas ho podem simplificar i parlar només de veïns en la direcció vertical perquè la temperatura només canvia en aquesta direcció). Els punts volen passar desapercebuts, no volen destacar en relació als seus veïns. L’equació de Laplace explica tots els fenòmens de difusió. Les temperatures del subsòl es difonen com els contaminants i el fum a l’atmosfera o com la llet en el cafè. Si aboquem llet amb molt de compte en una tassa de cafè i no remenem, en un primer moment els dos líquids quedaran mig barrejats. Imaginem, com abans, que mesurem la concentració de llet en una certa línia vertical i que ho fem cada mil·límetre, per exemple. Si al cap d’una hora tornéssim a fer el mateix, veuríem que la llet s’ha difós i que es compleix la llei de Laplace: els punts han deixat de destacar respecte els seus veïns i les vetes blanques de llet del principi han desaparegut. Sense estímuls externs, els sistemes tendeixen a una total uniformitat.

Mentre que l’equació de Laplace explica com queda tot plegat en l’estat final d’equilibri i repòs, Fourier va establir les lleis que regeixen l’evolució de la temperatura i de les concentracions durant aquests fenòmens de difusió. La idea és molt simple. Hem vist que cada punt “observa” la temperatura dels seus veïns, en fa la mitjana, i desitja assolir aquesta temperatura mitjana. El que va plantejar Fourier és una equació diferencial que diu que cada punt modifica en cada moment la seva temperatura (o concentració) amb una velocitat que és proporcional a la diferència entre el seu valor i la mitjana dels valors dels seus veïns. Els punts “observen” els veïns i “actuen”. Si veuen que són lluny de la mitjana dels veïns, s’afanyen més en acostar-s’hi, però si ja són prop de la mitjana, s’ho prenen amb més calma. És l’anomenat comportament asimptòtic, ràpid al principi i cada cop més lent. Fourier ens diu que cada cop ens acostem més a la situació d’equilibri de Laplace, la de les funcions harmòniques, però que mai hi arribarem. Quan els punts són molt a prop de la mitjana dels seus veïns, s’hi continuen acostant amb velocitats que arriben a ser infinitament petites. Val a dir que ens els fenòmens reals tot plegat és una abstracció perquè els estímuls externs van canviant, tot sacsejant els sistemes. Ni la temperatura del subsòl s’estabilitza ni la concentració d’humitat a l’atmosfera arriba a un estat de difusió uniforme. El Sol i la rotació de la Terra ens regalen els núvols, que no existirien sense ells.

Els camins que passen per damunt dels ponts es refreden a la nit perquè la capa de terra i materials no és gaire gruixuda. El punt que menys es refreda és el punt central, el punt intermedi entre la superfície del camí i la superfície dels arcs de sota el pont. La llei de Fourier (vegeu nota al final) ens permet calcular la temperatura i el grau de refredament d’aquest punt al llarg del temps. El fenomen, però, no és línial en relació al gruix. Si el material és prim i es refreda (o s’escalfa) el que volem al cap d’una hora, Fourier ens diu que si fem una segona prova amb el doble de gruix de material (tant si és un pont com si parlem de coure un bistec) necessitarem el doble de temps. Però també ens diu que si ho provem amb un material 20 vegades més gruixut, el temps requerit haurà de ser unes 33 vegades més gran. Per calcular-ho bé, hem de demanar ajut a les matemàtiques i resoldre l’equació diferencial de la calor, la llei de Fourier.

Per cert, Oxfam Intermón diu que fins ara, les úniques persones que s’han beneficiat de les mesures d’austeritat a Europa han estat el 10% dels més rics.

______________________________________________________________________

NOTA: La llei de Fourier, si la temperatura baixés de cop i després es mantingués freda, ens explica que la temperatura d’aquest punt central, desprès d’uns quants minuts inicials d’adaptació, seguiria aproximadament una llei exponencial (com la que modela la desintegració atòmica) que tendiria asimptòticament a la temperatura ambient nocturna: T-Ta=T0*exp(-C*t), on T0 és la temperatura inicial d’aquest punt, Ta és la temperatura ambient, T és la temperatura del punt central al cap d’un temps t, i on la constant C depèn del gruix i de la composició del subsol. Després de molt temps, la temperatura de tots els punts en la línia vertical seria la mateixa (igual a la temperatura ambient Ta) i la difusió hauria eliminat els bonys. Observeu que, desprès d’un canvi brusc de temperatura ambient, els dos punts on la nostra línia vertical talla les superfícies superior i inferior de la capa de terra “detecten” una gran diferència entre la seva temperatura i la mitjana de la dels seus veïns. La modificació de la seva temperatura segons la llei de Fourier fa que aquests dos “bonys” superficials es propaguin cap a les capes interiors del material i acabin removent totes les temperatures fins que aquestes s’acaben equilibrant.