Cada mes de novembre, quatre amics celebrem la nostra escala d’edats. Durant tot el mes de novembre, les nostres edats són correlatives. Fa bastants anys, quan un de nosaltres va fer els 25 anys, els altres ja en tenien 26, 27 i 28. Ara, cada any van canviant els valors però no el seu esglaonament. A més, en el nostre cas, és bonic perquè anem alternats: noia – noi – noia – noi. Ens agrada pensar-hi perquè és una celebració de grup. Els aniversaris són d’una persona en concret, però l’escala és del grup, pertany al grup. La celebració és una bona excusa per trobar-nos i fer petar la xerrada.
No és difícil trobar companys d’escala d’edats en un grup d’amics, perquè habitualment tindrem edats semblants. Què cal, per a aconseguir fer un grup de tres amb edats esglaonades? Doncs si vull ser el del mig, he de trobar dos amics o amigues tals que un d’ells sigui entre 2 i 363 dies més gran que jo, i de manera que la tercera persona sigui entre 365 i 728 dies més jove que jo (no estic tenint en compte els anys de traspàs). D’aquesta manera, és fàcil veure que el dia abans del meu aniversari tindrem edats correlatives i podrem celebrar l’escala. En tot cas, si vull més flexibilitat en la celebració amb un període més gran (com el mes de novembre en el cas que comentava), caldrà restringir més les dates d’aniversari dels meus companys. També és fàcil veure que hi ha altres maneres de formar escales, perquè en lloc de pensar en ser al mig puc provar de ser el primer o el seu darrer esglaó.
En un grup d’amics, podem fer alguna escala de dues persones? I de tres? I de quatre? I de cinc? Si ho proveu, us sorprendreu del fàcil que és fer escales d’edats. De fet, encara ho podem complicar una mica més. Podem preguntar-nos de totes les escales que podem formar (de tres o quatre esglaons, per exemple), quina és la que ens ofereix un interval més gran de possibles dies de celebració. O bé, quina és la que ens dóna el màxim de coincidència pel que fa a les nostres interessos culturals o lúdics. Quan volem trobar, amb un determinat criteri, la millor escala d’edats, estem plantejant el que s’anomena un problema d’optimització. De fet, i encara que sembli sorprenent, resoldre el problema de cercar la millor escala d’edats és molt semblant al que fem quan som a un parc i escollim un banc per seure a llegir un llibre, vegeu la Nota al final. És clar que cercar escales d’edats no és quelcom que fem cada dia, però escollir bancs per seure ja és més habitual, oi?
Optimització és el que fem cada dia. No és una operació matemàtica que combina variables per aconseguir un resultat gràcies a buscar relacions entre aquestes variables, com deia fa pocs dies l’Empar Moliner. Optimització és la vida. No combinem variables, vivim. Els matemàtics, informàtics, enginyers i investigadors optimitzem perquè n’hem aprés observant la Natura, mirant les abelles que pol·linitzen les flors i observant les migracions dels ocells. Nosaltres mateixos, els humans, som el resultat inacabat de la optimització que ha anat teixint l’evolució durant segles i segles. Com, sinó, podria haver existit Mozart?
Per cert, Ciceró deia que ni la força ni l’agilitat física ni la rapidesa són el que permet dur a terme les grans empreses, sinó que són altres qualitats com la saviesa, la previsió i el discerniment.
_________________
NOTA: La nostra convenció cultural és que les persones tenen una determinada edat durant un període de 365 dies, des d’el dia del seu aniversari fins el dia anterior a l’aniversari de l’any següent. Per aclarir-nos, diem-li “període dels N” al conjunt de dies durant els que una determinada persona té N anys. Podem parlar del meu període dels 34, del període dels 37 de la meva amiga Marta, i del període de qualsevol edat de qualsevol dels meus amics. Els períodes sempre són conjunts consecutius de 365 dies. El problema de veure si, en un cert grup d’amics, podem formar alguna escala d’edats és un problema d’intersecció de conjunts, perquè només cal veure si existeix algun subgrup de persones tals que (en el cas d’una escala de quatre) el període dels N del més jove dels quatre interseca amb el període dels N+1 del següent en edat, amb el període N+2 del següent i amb el període dels N+3 del més gran dels quatre del subgrup. En d’altres paraules, formem tots els possibles grups de quatre persones, eliminem els grups en els que dues o més persones tenen la mateixa edat i fan els anys el mateix dia, definim els seus períodes dels N, N+1, N+2 i N+3, i comprovem si aquests quatre conjunts tenen intersecció no nul·la (fixeu-vos que el valor de N és irrellevant i que per tant la intersecció es pot fer en abstracte). Quan trobem un subgrup amb intersecció no nul·la dels seus intervals, tenim una solució: els quatre amics podran celebrar la seva escala qualsevol dia que pertanyi a la intersecció. És un problema dels anomenats d’optimització combinatòria, perquè, si no fem algun tipus de millora, haurem d’analitzar molts subgrups candidats de quatre persones. Fixeu-vos per exemple que, en un grup de vint amics, podem formar 9690 subgrups diferents de quatre persones. És el resultat de calcular 20*19*18*17/12.
I què fem quan anem a un parc i volem seure en un banc? Sense pensar-hi, també resolem un problema d’intersecció de conjunts. Volem un banc a l’ombra, silenciós, amb bona vista i, si pot ser, prop de l’estany. Ara bé, podem fàcilment determinar el conjunt de bancs que són a l’ombra, els conjunt dels que es troben en una zona silenciosa, el dels que tenen bona vista i el conjunt dels que són prop de l’estany. El banc ideal serà qualsevol banc de la intersecció d’aquests quatre conjunts. Ara pensem en conjunts de bancs i abans en conjunts (períodes) de dies. Però conceptualment és el mateix, tot és intersecar conjunts.
La diferència és que en el cas del parc anem més ràpids perquè no ens cal l’òptim, i segurament ens quedarem amb el primer banc que compleix tots els criteris que hem establert. En canvi, si som exigents, en el problema de les escales d’edats segurament voldrem conèixer totes les possibles solucions per a després poder escollir-ne la millor, la òptima, la que creiem que ens aportarà un màxim d’afinitats en el subgrup. Però tots dos problemes, quan fem abstracció, tenen el mateix enunciat: són problemes que volen trobar la intersecció d’uns quants conjunts.
En el cas d’una escala de quatre persones, és fàcil veure que en alguns casos la diferència d’edats pot arribar a ser de quasi quatre anys, cosa que d’altra banda és bastant lògica. El que ja no és tan intuïtiu és que puguem formar l’escala amb una diferència d’edats de poc més de dos anys. Podeu comprovar vosaltres mateixos que quatre persones que hagin nascut l’octubre de 1987, el maig del 1988, el desembre de 1988 i el desembre de 1989 formen una escala d’edats com la que comentava al principi.
