Cóm podem aguantar un prestatge de llibres? Els dos prestatges de la imatge  són plens de llibres. Els prestatges són especialment prims per a poder observar bé la seva flexió, produïda pel pes. Tots dos tenen el mateix gruix i la mateixa llargada, són idèntics. Hem posat vint-i-set llibres en el prestatge de dalt i el mateix nombre de llibres en el de baix, encara que els llibres del prestatge de sota són més gruixuts i pesen una mica més. Fixeu-vos que els llibres de dalt queden més separats que els de baix. Però el prestatge de dalt sembla a punt de trencar-se mentre que el de sota aguanta molt millor els llibres. Sabeu per què?

La única diferència és que els suports del prestatge de sota són més endins. Cada un d’ells l’hem mogut endins un 11,8% de la llargada total del prestatge. Ho podeu veure en aquesta altra foto, feta des de sota.

Si heu de muntar prestatges, no poseu els suports als extrems. Si feu la hipòtesi, força raonable, que el pes estarà uniformement repartit al llarg del prestatge, una bona solució és col·locar els suports a una distància del centre igual a 0,381967*L, on L és la la llargada total del prestatge. És fàcil veure que això és equivalent a dir que els posem a una distància del 11,803% de cada un dels dos extrems. És el que hem fet en el prestatge de sota de la imatge de dalt d’aquest article. La teoria física de l’elasticitat ens explica que aquesta posició és la que millor reparteix els esforços de tensió al llarg del prestatge quan l’omplim de llibres, com veurem més endavant. Si acostem els suports als extrems del prestatge, el punt central és el que més pateix i si ens passem de pes, el prestatge acabarà trencant-se pel mig. És la situació que tenim en el prestatge de dalt. Si, en canvi, movem els suports cap al centre, els punts que més pateixen passen a ser justament els dels suports. En aquest cas, si anem afegint pes, el prestatge acabarà trencant-se pel punt on tenim un dels dos suports. Per això, muntar el prestatge amb els suports a una distància del centre igual a 0,381967*L és una bona solució: els punts de màxima tensió, el centre i els dos dels suports, es troben equilibrats.

Hi ha d’altres solucions (podríem minimitzar la deformació màxima vertical, per exemple). Però la solució que comporta que la distància al centre sigui 0,381967*L és doblement interessant. Ho és perquè ajuda a que el material del prestatge treballi relaxadament des d’un punt de vista elàstic. I també ho és perquè aquest estrany nombre 0,381967 és el resultat de restar 1 menys la raó àuria φ, també anomenada secció àuria, nombre d’or o divina proporció. La raó àuria s’anomena amb la lletra grega fi en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó. Mira per on, els prestatges ben muntats ens connecten amb els grecs i amb el Partenó.

La raó àuria va meravellar els artistes del Renaixement. Euclides ja la menciona en els seus Elements, però va ser Leonardo da Vinci qui en va quedar realment fascinat i li va donar el nom. L’any 1509, Luca Pacioli va publicar un tractat complet dedicat a la raó àuria: “De Divina Proportione“. Tant Leonardo com Albrecht Dürer, que consideraven que φ era la màxima expressió de l’harmonia, la van utilitzar per establir els cànons de les proporcions perfectes del cos humà. L’home de Vitruvi, el famós dibuix de Leonardo da Vinci realitzat prop de l’any 1492 per estudiar les les proporcions del cos humà, representa una figura masculina despullada en dues posicions de braços i cames i inscrita en un cercle i un quadrat. La relació entre el costat del quadrat i el radi del cercle és la raó àuria. El rectangle auri, el que té els seus dos costats en proporció àuria, és l’únic que es pot separar en un quadrat i en un altre rectangle auri. Els rectangles contenidors de les closques dels Nautilus i de les espirals dels ciclons i galàxies són rectangles auris.

El valor exacte de la raó àuria o nombre φ es pot calcular com la meitat de l’arrel quadrada de cinc, menys 0,5 (o més 0,5 si el que voleu és la seva inversa). Una de les propietats divertides del nombre φ és que la diferència entre ell i el seu invers, és la unitat: si la proporció entre els costats a i b d’un rectangle auri és a/b = φ = 0,61803, la proporció inversa és b/a = 1/φ = 1 + φ = 1,61803. Per això, algunes vegades llegireu que el valor de φ és 0,61803 i d’altres trobareu que és 1,61803. Habitualment, el primer s’anomena amb la lletra fi minúscula (φ), i el segon amb la fi majúscula, Φ. Tot depèn de si ho mirem del dret o de l’inrevés, de si dividim el costat a pel costat b o de si dividim b per a. En el fons, tot és el mateix.

Els prestatges que aguanten pes, flexionen com les bigues i els ponts. La teoria física de l’elasticitat ens diu que quan un prestatge flexiona com el de dalt de la imatge, les fibres de les seves capes superiors es contrauen mentre que les de les seves capes inferiors s’estiren. Aquesta tensió que han d’aguantar les fibres de la fusta – o les partícules del material que sigui – es mesura amb l’anomenat moment flector. Quan el moment flector és massa gran, el material no pot aguantar el pes i el prestatge es trenca, justament pel punt de màxim moment flector i de màxima tensió. Tot plegat es pot explicar bé amb funcions polinòmiques (vegeu la nota al final). De fet, fent experiments amb un prestatge carregat de llibres podríem explicar bona part de la teoria matemàtica de funcions amb els seus punts d’inflexió, derivades, màxims i mínims; fins i tot podem explicar les  integrals.

La teoria física de l’elasticitat ens recorda que els prestatges agraeixen que tinguem en compte la raó àuria. Tal vegada, quan els muntem, recordarem Fidies, Leonardo da Vinci i Luca Pacioli

—

Per cert, Rosalía Mera deia que si regategem en el tema de la salut, de la infància i de l’educació ens estem fent un trist favor. Deia també que no es pot retallar per baix i per la part més fàcil…

Nota: En el cas de prestatges amb dos suports i amb pes uniformement repartit, la gràfica del moment flector al llarg del prestatge està formada per tres trossos de paràbola connectats entre sí. En llenguatge matemàtic i si suposem, per simplificar, que la llargada total L és 1, que el pes total és Q i que la distància de cada suport al seu extrem més proper és d, el moment flector en qualsevol punt a distància x (amb x<d) de l’extrem es pot veure que és Q*x*x/2. En canvi, si la distància x és més gran que d i ens trobem entre els dos suports, el moment flector és Q*x*x/2 – Q*(x-d)/2. Amb uns quants càlculs podreu veure que si volem que els valors extrems d’aquest moment en les posicions dels suports i en el centre, siguin iguals en valor absolut, ens apareix la raó àuria. Però la teoria de l’elasticitat també ens explica que aquest moment flector és la derivada segona de la corba que formarà el prestatge deformat quan hi posem els llibres. En d’altres paraules, el perfil del prestatge deformat en aquest cas és un polinomi de grau 4 que podem calcular si integrem dues vegades la funció del moment flector. I això no és tot. Per exemple, els punts en què el moment flector és nul (que, amb les fórmules de més amunt, podem veure que són dos sempre que d sigui menor que 1/4) corresponen a dos punts d’inflexió en la forma del perfil del prestatge deformat. Són els dos punts en els que aquest perfil passa de convex a còncau.