Podem ordenar fenòmens, objectes, persones, o països? Podem ordenar opinions? Hi ha algun ordre en la disposició geogràfica de les ciutats al món? És clar que podem ordenar el que vam fer l’any passat per ordre cronològic, però no no hi ha manera d’ordenar, sense més informació, la situació geogràfica de les ciutats del món. Ens cal tenir elements o punts de referència. A l’imperi Romà podien ordenar les ciutats per la seva distància a Roma. Però si no volem tenir ni punts centrals ni capitals d’imperi, no podem establir cap ordre geogràfic entre Frankfurt, Lima i Bukavu.

La resposta a la pregunta de si és possible o no ordenar un conjunt de fenòmens, objectes o opinions, ens ve de la mà de la geometria i és ben senzilla. Els elements de la realitat, siguin físics o abstractes, es poden ordenar només si els simplifiquem al màxim i ens quedem amb una sola de les seves propietats (també anomenades atributs). Podem comparar i ordenar països si només ens fixem en en el seu PIB (per exemple) i podem ordenar les ciutats que rega un determinat riu si només considerem les distàncies al llarg del seu recorregut. Em direu que això és ben conegut. Però l’interessant és que es pot demostrar que els fenòmens, objectes, països i persones que descrivim amb més d’un atribut o propietat, no són ordenables. La simplicitat del món unidimensional es trenca quan afegim propietats i volem tractar problemes n-dimensionals (la dimensió, n, és el nombre d’aspectes o atributs que volem considerar). Si volem caracteritzar els països del món amb el seu PIB, l’index Gini de desigualtat i el percentatge de nens a l’escola pública (per exemple), tenim un problema de dimensió 3 i ja no podem parlar d’ordre entre països. De fet, el que passa és que l’ordenació no és única: es poden ordenar de moltes maneres diferents. El truc, ben conegut, és assignar prioritats (vegeu nota al final). A l’exemple que estem veient, com que tenim tres atributs per país, només haurem de fixar tres valors de prioritat que indicaran la importància que donem a cada un d’ells. El resultat és que cada un dels elements que estem estudiant es projecta i es converteix, pel que fa al nostre estudi, en un element undimensional, ja ordenable però reduït i simplificat. Assignem prioritats per a convertir el problema nd-dimensional en un problema unidimensional que ja podem tractar i analitzar. No tenim altra solució, perquè els fenòmens que volem descriure amb més d’un atribut o propietat no són ordenables.

En poques paraules, quasi tot el que veiem cada dia (amb molt poques excepcions, una de les quals és el pas del temps, que és essencialment unidimensional) és massa complex per a poder ser ordenat de manera objectiva. La complexitat no es deixa ordenar. I aquí tenim una de les grans contradiccions de la condició humana: volem entendre la complexitat del que ens envolta, però simplifiquem massa i acabem entenent ben poca cosa de tot plegat. Suposem que ens plantegem saber quins països tenen més qualitat de vida i quins en tenen menys. Per a estudiar-ho, haurem de definir algun index o indicador que “mesuri” això que entenem per qualitat de vida. És un bon recurs, perquè automàticament podrem fer taules i gràfics de barres que mostrin l’index de qualitat de vida per països, els podrem ordenar de més a menys i podrem concloure quin és el millor país i quin és a la cua del món. Però no ens enganyem: hem reduït tot el problema a un index unidimensional, hem escollit un cert conjunt de variables que podien haver estat unes altres, i hem assignat prioritats aparentment raonables a aquestes variables. Si ho fem bé, junt amb les nostres conclusions publicarem les nostres hipòtesis: el conjunt de variables que hem usat, cóm les hem mesurat, i cóm les hem prioritzat. Però haurem de tenir clar que qualsevol altra assignació de prioritats podria conduir s resultats ben diferents. Per això, els diagrames en dues i tres dimensions són habitualment més informatius que els que es basen en índexs unidimensionals, i més que els rànquings que veiem ben sovint. Fixeu-vos en la imatge de dalt, que podeu trobar en aquest estudi i que és similar a les que també va estudiar en Tony Judt. Si prioritzem al màxim la salut i l’esperança de vida, el millor país és Japó, mentre que si prioritzem a la vegada la longevitat i el nivell elevat d’ingressos, el primer passa a ser Noruega. I si el que ens importa és tenir diners (PIB o GDP), hem de parlar dels Estats Units. Cada priorització relativa entre els dos factors es pot representar com una direcció en el gràfic, direcció que ens dóna una determinada ordenació dels països. L’avantatge, però, d’anar més enllà dels index unidimensionals i tenir el gràfic, és que aquest ens mostra totes les possibles ordenacions i ens deixa a nosaltres la capacitat d’interpretació.

A les eleccions passa alguna cosa de semblant. La nostra opinió és polifacètica i engloba i conté molts “eixos”. Tenim opinions en “l’eix sobiranista”, en “l’eix social”, en “l’eix públic-privat”, en “l’eix de gènere”, en “l’eix internacional”, en “l’eix militarista” i en molts altres. Cada u de nosaltres és un punt en un gràfic semblant al de dalt, però amb moltes més de dues dimensions. I cada u de nosaltres prioritza aquests eixos a la seva manera: hi ha tantes societats ideals com persones. Això contribueix a que no hi pugui haver cap sistema perfecte de votació. Ho va demostrar en Kenneth Arrow l’any 1951 amb el seu famós teorema d’impossibilitat, que ara coneixem com teorema de Arrow (vegeu la nota al final). Les eleccions tornen a ser, en certa manera, un altre mètode d’ordenar la complexitat, perquè al final tot acaba en una assignació d’escons a opcions polítiques, i aquest resultat evidentment es pot ordenar pel nombre de diputats obtinguts. Ara bé, hi ha una excepció interessant: els referèndums. El teorema d’Arrow no s’aplica als referèndums ben formulats amb una única pregunta i dues alternatives (per exemple, sí-no). En aquest cas, és fàcil demostrar que el resultat sí que és informatiu del que la gent ha dit quan ha votat.

El teorema d’Arrow ens diu que això que anomenem eleccions, és un mecanisme que no pot ser perfecte. I la geometria ens explica que quan prioritzem per simplificar i poder ordenar, estem perdent la complexitat dels fets reals. Estem atrapats. Volem entendre i capturar la complexitat, i quan ho fem amb les eines que hem inventat, justament perdem tota aquesta complexitat. En tot cas, la conclusió també és complexa: ben segur que hem de continuar utilitzant les votacions democràtiques i que hem d’analitzar dades en base a índexs unidimensionals, però també hem de ser conscients que aquestes eines, que no podem millorar, són limitades.

Per cert, l’Emilio Lledó diu que la lectura és un dels més estranys prodigis de la memòria i de la vida. Explica que, amb els llibres, recuperem la veu dels que ens van precedir i vencem el temps tot entregant-lo als futurs lectors.

————

NOTA: Si tenim n atributs que, en un país (o persona o fenomen) determinat tenen valors A1, A2, … An, hem de definir un conjunt de prioritats P1, P2, … Pn i calcular, per aquest país, el valor que resulta de sumar el producte de cada atribut per la seva prioritat: A1*P1+A2*P2+…+An*Pn. El valor per un altre país amb atributs B1, B2, … Bn serà lògicament B1*P1+B2*P2+…+Bn*Pn. En el cas de la imatge de dalt, el valor només depèn de dos atributs i es pot expressar com EV*P1+GDP*P2, on EV i GDP són els valors corresponents als dos eixos (esperança de vida i renda per càpita). De fet, aquesta expressió representa una recta que passa per l’origen del gràfic, el pendent de la qual queda determinat pels valors de P1 i P2. Per a cada conjunt de prioritats tenim una d’aquestes rectes. Per ordenar només hem de projectar perpendicularment sobre la recta tots i cada un dels punts del gràfic, i la disposició dels punts projectats sobre la recta ens dóna directament l’ordenació. Si feu una prova amb dos o tres parelles diferents de valors (P1, P2), veureu que les ordenacions donen resultats diferents.

D’altra banda, el teorema de Arrow demostra que, en qualsevol grup de persones o societat, és impossible dissenyar un sistema de votació que sigui capaç de convertir els perfils de preferències dels individus del grup en un un perfil de preferències del grup que respongui al que volen els votants. En d’altres paraules, no existeix cap sistema de votació que pugui garantir les condicions d’universalitat, coherència, estabilitat, absència de dictador i racionalitat. La primera hipòtesi és que aquestes regles de votació (regles de formació del perfil del grup a partir dels perfils individuals) han de complir la condició d’universalitat: qualsevol persona, sigui quina sigui la seva opció personal, l’ha de poder reflectir en el seu vot. La coherència implica que si tots els individus prefereixen A abans que B, el resultat ha de ser que el grup prefereix A abans que B. La condició d’estabilitat comporta que si s’afegeixen o eliminen alternatives no guanyadores, el resultat no ha de variar, mentre que l’absència de dictador significa que cap individu pot aconseguir que el perfil del grup sigui igual que el seu, amb independència de les preferències dels demès. Finalment, la condició de racionalitat implica que l’ordenació de preferències d’alternatives, tant a nivell individual com de grup, ha de ser completa i ben ordenada.