Una pregunta que tal vegada podeu plantejar quan sigueu en una trobada d’amics que acceptin parlar de temes científics, és quina és la forma que descriu l’ombra de la punta d’un pal, un dia assolellat.

La resposta hauria de ser senzilla, però observareu que habitualment molta gent no l’encerta. Cada moment, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra ens indica la direcció cap al Sol. Doncs bé, al llarg del dia, aquesta recta S descriu un con (una paperina, una superfície cònica) amb vèrtex a la punta P del pal (vegeu la nota al final). El fet que no en siguem conscients és degut, probablement, a que l’eix d’aquest con, que passa pel punt P, és paral·lel a l’eix de la Terra. I l’eix de la Terra té una orientació “estranya”, inclinada cap al nord i en direcció a la Polar. L’error dels nostres avantpassats i la dificultat que tenim per entendre el moviment aparent del Sol és fruit de la nostra manera provinciana de mirar i entendre el món. Creiem que caminem ben drets i eixerits, escalfats per un Sol que a l’estiu és més amunt i després més avall. Però habitem la Terra, i el nostre planeta té una única direcció singular: la del seu eix E. Som éssers que vivim torçats, inclinats en relació a l’eix E i en relació als altres. Quan els d’Igualada caminen, la seva vertical forma un angle de 48,42 graus amb l’eix de la Terra. Aquest angle és 49,28 de graus pels d’Amposta i de 62 graus pels que viuen a Tenerife. Quina és la direcció de referència, la meva o la de l’eix de la Terra?

Tot es més fàcil si acceptem que l’important, al nostre planeta, és la rotació al voltant del seu eix E, i que som nosaltres els que tenim una vertical estranya i diferent de la direcció d’aquest eix. L’astronomia, començant pel moviment del Sol, s’entén molt millor quan ens situem de manera coherent amb aquest eix singular del planeta. No és gaire difícil. Només cal construir un quadrat de cartró o fusta, fer-hi passar un eix perpendicular com el que veieu a la imatge, i ajustar la dimensió d’aquest eix per tal que l’angle entre el pla quadrat i el terra (o la taula) sigui igual a 90 menys la latitud. A Puigcerdà, aquest angle haurà de ser de 90 – 42,43 = 47,57 graus, mentre que a Amposta serà de 90 – 40,72 = 49,28 graus. Ara, si girem el conjunt fins que la part superior de l’eix s’orienti cap al nord (ho podem fer mirant la direcció de l’ombra del fil d’una plomada en el moment del migdia solar), ja ho tindrem tot preparat. Tindrem un petit laboratori solar amb un quadrat pla paral·lel a l’equador i una vareta paral·lela a l’eix E de la Terra. Imaginem que poguéssim fer tot aquest sistema a mida humana i que ens estiréssim unes hores al llarg de la vareta o gnòmon. Veuríem l’absoluta regularitat del moviment diürn del Sol. De fet, i degut a aquest moviment solar que és cònic, hem entès que els rellotges de sol són més senzills quan el gnòmon té la direcció de E i quan projecten l’ombra en una superfície disposada de manera simètrica al voltant d’aquest gnòmon.

Hi ha dos exemples evidents de rellotges de Sol amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra i superfície disposada de manera simètrica al seu voltant: els rellotges equatorials (de superfície plana) i els cilíndrics. El primer és el que teniu per exemple a la part superior esquerra de la imatge de dalt, i que podeu trobar amb més detalls en aquesta web. El Sol gira uniformement al voltant del gnòmon de manera que la direcció de l’ombra gira 360/24 = 15 graus cada hora; per tant, en un rellotge equatorial, les línies de les hores solars són radials i equidistants. Però podem fer-ho encara millor, com ho van fer els que van construir el rellotge equatorial (i molts més) a Jantar Mantar ara fa tres segles. Com que el moviment diürn del Sol genera un con, si ajustem la longitud del gnòmon i el fem curt de manera que el con intersequi el pla equatorial del rellotge, l’ombra anirà seguint cada dia un cercle perfecte. L’angle de l’ombra ens dirà l’hora mentre el seu radi ens farà de calendari. A la imatge de baix a la dreta (que podeu trobar a aquesta web) teniu la divisió del pla equatorial del rellotge de Jantar Mantar en radis horaris i en cercles que marquen el calendari. Aquí podeu trobar més dades sobre aquest rellotge i sobre tot el complex astronòmic de Jaipur.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació de l’eix de gir del nostre planeta. El Sol gira 15 graus cada hora, estiu i hivern (en hora solar, això sí; vegeu el comentari a la nota del final). D’altra banda, el radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular (vegeu un cop més la nota al final). El 21 de juny el cercle és petit perquè el Sol és ben amunt al cel. Després, el con solar es va obrint, i els cercles es van fent més i més grans fins que el 21 de setembre, el con es fa pla i el cercle és immens, desbordant el pla del nostre rellotge. Llavors, a partir del 21 de setembre, tot canvia com per art de màgia. El Sol deixa d’il·luminar la cara superior del nostre rellotge i passa a la cara de sota, que és on es projectarà l’ombra de la part inferior del gnòmon durant la tardor i l’hivern. El con es va tancant, cada cop el radi dels cercles és més petit, i el 21 de desembre ens mostra el seu valor més petit. En d’altres paraules, veiem l’ombra a la part superior entre el 21 de març i el 21 de setembre, i en canvi la tenim a la part inferior els altres sis mesos de l’any. Tot és increïblement regular, senzill i repetitiu. És quelcom que sabien molt bé els constructors del rellotge de Jantar Mantar quan van fer les dues cares, una per la primavera-estiu i una altra per la tardor-hivern.

Podríem pensar també en rellotges esfèrics amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra, però permeteu-me que citi el cilíndric perquè conserva la simplicitat didàctica de l’equatorial a la vegada que ens dona encara més informació. La idea és ben senzilla: es tracta de recollir l’ombra del gnòmon en una superfície cilíndrica al voltant del gnòmon i per tant orientada també segons l’eix de la Terra. Aquest rellotge marca l’hora solar, és també calendari, i a més, si l’escapcem com si el talléssim amb un ganivet horitzontal (aquesta web explica com fer-ho), ens mostra el punt de l’horitzó per on sortirà el Sol i per on es posarà en qualsevol data de l’any. No és bonic?

Sempre m’he preguntat com és que pensem que podrem entendre el comportament humà i millorar la nostra societat si estem tan pendents de nosaltres mateixos i del nostre entorn proper que no pensem en quasi res més. De fet, encara que sembli estrany, el Sol ens pot ajudar: si tanquem els ulls, visualitzem la direcció de l’eix de la Terra i imaginem el nostre gir perpetu al seu voltant, ben aviat ens adonarem que la nostra pretesa verticalitat és un mite. El vertigen de pensar que caminem inclinats en un planeta que es mou com una baldufa tal vegada ens recol·loqui i ens faci veure que estem obligats a entendre’ns i a viure els uns al costat dels altres, com ens deien Kant, Fuller o Bauman.

———

Per cert, en Eduardo Martínez Abascal explica que la família mitjana a Espanya (uns 12 milions d’abonats) paga uns 45 euros al mes en electricitat. Diu que tenim el tercer preu més car dins de la Unió Europea, després de Dinamarca i Alemanya… Com deien els romans: Cui prodest?

———

NOTA: Imaginem la direcció definida per una certa recta S. Imaginem ara que aquesta direcció (que és un vector, parlant en termes geomètrics) gira al voltant d’un determinat eix E. És clar que el conjunt de direccions definides per una rotació arbitrària de S al voltant de E, que podem expressar com Rotació(S,E,alfa) per qualsevol valor de alfa, formen un con d’eix E. És el con que veurem si fem girar ràpidament un paraigua sense tela al que només li quedin les barnilles. Imaginem ara que la direcció S és invariant, però que som nosaltres els que girem al voltant de E. Com que el moviment és relatiu, el resultat també serà un con.

Això és exactament el que passa quan estudiem el moviment del Sol. Nosaltres (i tot el que ens envolta) girem al voltant de l’eix de la Terra, mentre que la direcció S de la Terra al Sol, vista per un observador inercial i extern al sistema solar, és aproximadament constant al llarg d’un dia. Per això, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra descriu un con. Ara bé, de fet, i per ser precisos, hauríem de parlar d’un quasi-con, perquè és clar que l’endemà, S haurà canviat lleugerament tot girant un angle de quasi un grau (ha de girar 360 graus en 365 dies). La trajectòria del Sol, definida per la variació de la direcció S al llarg del dia, és per tant un quasi-con que no acaba de tancar perquè es va convertint en el quasi-con del dia següent. El quasi-con solar comença el màxim de tancat a cada solstici, es va obrint lentament com el full d’una immensa paperina que va aplanant-se, arriba a ser pla i geomètricament degenerat quan arriba el següent equinocci, i després torna a tancar-se lentament a l’altra banda del pla en el seu camí cap al següent solstici en un moviment harmoniós que ens fa recorda les flors de la xicoira o la calèndula (de fet i òbviament, mogudes pel Sol).

El rellotge equatorial descrit a dalt mostra l’hora solar. Pot mostrar també l’hora oficial si les línies de les hores, en comptes de marcar-les com a radis, les corbem lleugerament de manera que codifiquin l’equació del temps. Però en aquest cas caldria construir dos rellotges: un d’estiu-tardor que marcaria les hores i calendari d’estiu entre el 21 de juny i el 21 de setembre a la cara superior i el mateix per al període entre el 21 de setembre i el 21 de desembre a la cara inferior, i un altre d’hivern-primavera que serviria per l’hivern a la cara inferior i per la primavera a la seva cara superior. Això és degut a que l’equació del temps no és simètrica al llarg de l’any.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació del gir terrestre. El radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular: només cal saber la declinació del Sol (l’angle del con solar per damunt o per sota del pla equatorial) i dividir la longitud del gnòmon que sobresurt del pla per la tangent d’aquest angle. Cal observar que la declinació solar al llarg de l’any (que podeu trobar en taules com aquesta) és la mateixa per a tots els punts del planeta.