Què és més ràpid, anar en avió de Barcelona a Nova York o de Sao Paulo a Mèxic DF? No sé si us passa el mateix que a mi, però jo trobo que la durada dels viatges llargs en avió es fa difícil de preveure. Donats quatre punts sobre la Terra, no sempre és fàcil saber si la distància entre els dos primers és més gran o més petita que la distància entre els dos segons.

Estem acostumats a imaginar que tot és pla. Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en terrenys que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans, en el mòbil o estesos damunt la taula. Però ja sabem que la Terra no és plana. De fet és un geoide, amb una forma quasi esfèrica que enganya la nostra intuïció. Mireu aquesta bola del món interactiva. Podeu girar-la, i cada cop que us atureu us mostra a més la direcció dels vents. Però a mesura que l’aneu girant, és fàcil veure que la distància aparent entre dos punts determinats qualsevols va variant. Per a fer-nos una idea del valor d’una determinada distància, el millor és girar la bola del món fins que el punt mig entre les dues ciutats que estem estudiant, per exemple Barcelona i Nova York, coincideixi amb el centre del cercle de la Terra. En aquesta posició, la distància que veiem en pantalla permet determinar la distància real entre els dos punts (vegeu Nota al final). Us trobareu amb sorpreses, perquè la nostra intuïció alguns cops ens enganya. El problema és que vam aprendre geografia amb mapes del món inexactes que en alguns casos distorsionen els continents.

La Terra és pràcticament esfèrica, un globus. Les formes rodones i esfèriques ens són ben familiars. Sabem el fàcil que és inflar globus i fer bombolles de sabó. Però tan les esferes com els trossos d’esfera amaguen molts secrets i no sempre són tan dòcils. Proveu de construir una esfera, encara que sigui aproximada, retallant i enganxant cartolina. No és pas fàcil. I tenim un teorema geomètric, el de “l’esfera peluda” que diu que si pretenem pentinar una esfera amb pèls, sempre ens quedarà algun remolí. A més, les esferes no es poden aplanar. I aquest és el gran problema dels mapes: és impossible fer un bon mapa de la Terra perquè volem que els nostres mapes siguin plans mentre que el nostre planeta és esfèric i no es deixa aplanar.

Imaginem que pintem el mapa d’Europa en un tros de closca d’ou. El mapa podrà ser força fidel, perquè els trossos de closca d’ou són semblants a casquets esfèrics. Però no és gaire còmode portar closques d’ou d’una banda a l’altre, com tampoc ho és anar sempre amb una bola del món sota el braç. Si volem un mapa pla, la geometria ens diu que només tenim dues opcions: distorsionar o trencar. Cap d’elles és perfecte, però aquest és el dilema. Les matemàtiques ens diuen que la perfecció en els mapes no existeix.

Quasi tots els mapamundis que coneixem segueixen el camí de la distorsió. És el que passa, per exemple, quan fem una foto de la bola del món. La Terra se’ns distorsiona i veiem distàncies més grans al mig que cap a les vores perquè és impossible de representar fidelment la Terra tota connectada i sense distorsió. En els mapamundis, no podem prendre mesures amb un regle.

Però ens queda la segona opció, la de trencar. Si premem la closca d’ou de la foto de dalt després de pintar-hi el mapa d’Europa, ens quedarà el continent ben aplanat i sense quasi distorsió, però tot trencat. Hi ha molta gent que ha creat mapes d’aquest tipus, encara que són poc coneguts. Són mapes que segueixen el principi de la closca d’ou xafada. Aquí teniu el mapa Dymaxion que va proposar en Buckminster Fuller. I aquí podeu veure el mapa octaèdric de la Terra, que us podreu construir si visiteu el museu de matemàtiques de Barcelona. La Terra es pot tallar i separar de moltíssimes maneres, i cada una d’elles ens generarà un mapa diferent del tipus closca d’ou trencada. Si volem minimitzar la distorsió, hem de fer que les cares planes finals siguin ben petites. Per això, en Jarke Van Wijk parla dels mapes “Miriahedral“. Mireu i gaudiu d’aquest vídeo, que trobareu a la seva pàgina web. Ens mostra algunes de les infinites maneres de trencar i aplanar el nostre planeta.

Podem decidir-nos a estudiar bé la geografia i la geometria del nostre planeta amb una bola del món, o amb mapes (per cert, heu pensat en l’etimologia de la paraula “geometria”?). Però si decidim fer-ho amb mapes, haurem d’escollir: distorsió o talls.

Per cert, en Joan Majó diu que els poders polítics democràtics no poden acceptar un nou pacte amb el capitalisme financer, sinó que cal obligar al nou capitalisme a canviar les seves regles. Diu també que les noves regulacions han de tenir caràcter global, perquè ara la partida es juga a escala de tot el món.

——

NOTA: Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en espais que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans. Però, a la Terra, les grans distàncies no les podem mesurar en línia recta. Si volem calcular la distància entre dos indrets com Barcelona i Nova York i aproximem la Terra per una esfera, la geometria ens explica que si volem trobar la distància més curta, hem de mesurar-la en un arc de cercle màxim. Tot plegat no és pas difícil d’imaginar. Tenim tres punts: les dues ciutats A i B que estem estudiant (Barcelona i Nova York, o Rio de Janeiro i Mèxic DF) i el centre de la Terra, que anomenarem O. Els tres punts A, B i O defineixen un pla que talla la Terra en dues meitats, com si fos una síndria, i que ens marca el cercle màxim que passa per A i B perquè sabem que el centre de qualsevol cercle màxim és el punt O. Quan girem la bola del món fins veure centrat i damunt de O el punt mig entre A i B, aconseguim mirar la Terra des d’una posició en la que el pla dels punts A, B i O el veiem de canto. Com que, a més, els punts A i B els hem situat de manera simètrica en relació a la projecció del centre O, el problema de calcular la distància real entre A i B sobre la superfície del planeta (la que recorren els avions) es redueix al problema de calcular la llargada de l’arc AB a partir de la de la seva corda, que és la que podem mesurar en la projecció que veiem del globus terraqüi. I aquí és on rau la dificultat: mesurem cordes, però les distàncies reals són arcs de cercle màxim. Ens equivoquem perquè estem acostumats a veure i mesurar distàncies curtes, i la geometria ens diu que, quan el radi del cercle és molt més gran que l’arc, les mesures de l’arc i de la seva corda són pràcticament coincidents. Si en un mapa veiem tres pobles A, B i C situats de manera que els habitants de B veuen A i C en angle recte, sabem que podrem aplicar el teorema de Pitàgores: si la distància entre A i B és de 3 quilòmetres i la distància entre B i C és de 4 quilòmetres, la distància entre A i C (hipotenusa) serà de 5 quilòmetres. La hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. Però els triangles esfèrics que se’ns formen sobre la superfície de la Terra són sorprenents. Per començar, els geòmetres mesuren els costats dels triangles, que sempre són arcs de cercles màxims, en graus. Un triangle esfèric té tres costats i tres angles però tots sis es mesuren com angles perquè és molt més senzill i clar. En trigonometria esfèrica, veureu formules on apareixen el sinus i el cosinus dels costats dels triangles. De fet, l’equivalent del teorema de Pitàgores per triangles esfèrics, que hom pot trobar fàcilment a partir de les formules del pentàgon de Neper, diu que el cosinus de la hipotenusa és igual al producte del cosinus dels dos catets. Força diferent del teorema de Pitàgores que coneixem, oi?

Si voleu calcular la distància sobre la superfície de la Terra entre dues ciutats A i B de les que sabeu les seves coordenades geogràfiques de longitud i latitud, ho podeu fer analitzant el triangle esfèric format per A, B i el pol nord. A l’hemisferi nord, si les latituds de A i B les anomenem L1 i L2 i si diem D a la diferència entre els valors de les seves coordenades de longitud, haureu d’utilitzar funcions trigonomètriques i calcular els cinc valors a=cos(L1), b=cos(L2), c=sin(L1), d=sin(L2), e=cos(D). Es pot fer, si voleu, amb un full de càlcul. Llavors, el valor c*d+a*b*e és el cosinus de l’angle que ens indica la separació entre els punts A i B sobre el seu cercle màxim. Només cal trobar aquest angle amb la inversa de la funció cosinus, passar-lo a radians i multiplicar-lo pel radi de la Terra (aproximadament, 6370 Km). El resultat és la distància, en quilòmetres, que haurem de recórrer si volem anar de A a B en avió.