Què podem fer si ens perdem enmig del mar, a la muntanya, dins d’un bosc o en un desert? Sortosament, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS ha estat un bon invent per a poder orientar-nos. El que no és tan conegut és que, tant al segle XVIII com al segle XXI, si ens podem orientar és gràcies als rellotges. Hem aprés que per mesurar bé la posició i el lloc on som, cal saber mesurar bé el temps. Depenem de la física i de la l’íntima relació que hi ha entre espai i temps.

Els navegants i descobridors del renaixement sabien calcular bé la latitud. Només calia mesurar, amb un sextant, l’alçada màxima del Sol o de les estrelles sobre l’horitzó i consultar les taules astronòmiques. Però la longitud geogràfica sempre va ser molt més esquívola. La diferència de longituds geogràfiques entre dos llocs de la Terra (o separació entre els seus meridians) és clar que és proporcional a la diferència entre les seves corresponents hores solars. Per això calien els rellotges. Els vaixells que sortien de qualsevol port, per exemple de Barcelona, portaven un rellotge ajustat a l’hora solar de Barcelona. Quan, dies després, eren enmig del mar, per saber la longitud del meridià només havien de mesurar l’hora solar i restar-la de la que marcava el rellotge. El principi és ben conegut. Si anem a Pontevedra, veurem que el Sol surt més tard i es pon més tard que aquí. Els navegants ho feien a l’inrevés: mesuraven aquest retard i amb això podien calcular la seva posició, el seu meridià. En teoria tot era perfecte. Es podien orientar gràcies als rellotges. Només hi havia un “petit” problema: els rellotges no eren bons, i avançaven o s’endarrerien. Com que 24 hores equivalen al gir de 360 graus de la Terra, un error de 4 minuts en l’hora és equivalent a un error d’un grau en la mesura de la longitud geogràfica, que correspon a 111 quilòmetres si som a l’Equador. No és pas un error menyspreable. Els navegants no es podien orientar bé perquè tenien rellotges dolents.

A principis del segle XVIII, es parlava molt del problema de la longitud. Calia trobar maneres de calcular-la amb més precisió. Els anglesos, molt preocupats pel tema, van ser pragmàtics. Justament l’any 1714, el Parlament anglès va acordar donar un premi de vint mil lliures a la persona que trobés una solució al problema. El premi es donaria a la persona que trobés com mesurar la longitud amb un error de menys de mig grau i que ho demostrés en un viatge en vaixell. El rellotger John Harrison va anar millorant el disseny dels seus mecanismes fins aconseguir un rellotge, l’anomenat H4, que superava els requeriments del Parlament. L’any 1764, el seu fill William ho va demostrar en un viatge de 47 dies a les illes Barbados. El rellotge només es va endarrerir 39 segons, equivalents a una distància de 18 quilòmetres en l’Equador. Tot i que no va ser fàcil convèncer la comissió del Parlament, John Harrison va finalment rebre el premi l’any 1773 junt amb el reconeixement públic d’haver resolt el problema de la longitud.

Què fa un GPS per a saber on som? El GPS també utilitza rellotges per calcular distàncies i determinar la nostra posició. John Harrison utilitzava rellotges, i els nostres GPS també. La diferència és que els rellotges dels GPS són molt més precisos. I no són en els nostres GPS, sinó que estan en els satèl·lits que són en òrbita.

El sistema GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Si mesurem el temps que tarda un senyal electromagnètic en viatjar des d’el satèl·lit fins el GPS del nostre telèfon, podrem calcular la distància entre els dos amb un simple producte perquè, gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió podem veure que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que, en cas que facin un tic cada nanosegon, la llum només avança un pam i mig entre cada dos tics. Doncs bé, quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la seva posició i el temps (en nanosegons) en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular el retard dels senyals i per tant les distàncies als satèl·lits (vegeu nota al final). Finalment, obtenim les nostres coordenades geogràfiques amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres.

El sistema Galileo és l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Galileo és un projecte civil, a diferència del GPS que és Nord-Americà i militar. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical, juntament amb un servei de pagament amb abonament que emetrà senyals encriptades amb un marge d’error inferior al metre per a localització en aplicacions específiques com la navegació aèria i els serveis de cartografia. El servei i la qualitat de les dades de posició deixarà d’estar supeditat als criteris i prioritats militars. Serà un servei per a la societat civil, més fiable i força més precís que el GPS. La constel·lació Galileo estarà formada per 30 satèl·lits en òrbita en una alçada mitjana de 23.222 quilòmetres, junt amb una sèrie d’estacions terrestres que controlaran els satèl·lits per tal de millorar la precisió del senyal i corregir-ne la trajectòria. Cada satèl·lit Galileo (vegeu la imatge de dalt) porta dos rellotges atòmics: un rellotge màser d’hidrogen que només endarrereix un nanosegon cada 24 hores, i un rellotge secundari de rubidi amb precisió de 1,8 nanosegons cada 12 hores. Ara mateix, els primers quatre satèl·lits Galileo ja són en òrbita i es troben en fase de proves. D’aquí a 4 o 5 anys (el 2017 o el 2018), ja el podrem utilitzar.

És més fàcil i més precís mesurar el temps que mesurar grans distàncies. Per això els mapes antics i medievals eren poc precisos, i per això els humans sempre hem fet servir rellotges per orientar-nos i per conèixer la nostra posició i les nostres coordenades. Però fa quatre segles, quan els navegants calculaven la seva posició, no ho podien fer bé: cometien errors de l’ordre de 100 quilòmetres. Fa tres segles i gràcies als rellotges de John Harrison, els errors ja eren només de l’ordre de 15 o 20 quilòmetres. Avui, gràcies als rellotges atòmics i a la tecnologia GPS, podem saber on som amb un error mil vegades més petit, de l’ordre dels 15 metres. I d’aquí a cinc anys, amb Galileo ho sabrem amb un error de només 4 metres. Tot plegat, perquè hem entès que el temps ens pot explicar l’espai i perquè hem trobat la manera de fer que ens l’expliqui.

Nota: Les estacions terrestres de control monitoritzen els satèl·lits i garanteixen que els seus rellotges estiguin “en hora” al nanosegon, a més de que tinguin informació sobre la seva posició en l’espai en tot moment. Llavors, si el nostre aparell GPS o Galileo portés un rellotge atòmic d’alta precisió incorporat, tot seria força senzill. Com hem dit, el GPS localitzaria automàticament alguns satèl·lits de la xarxa, dels quals rebria senyals amb informació sobre la posició i el temps en el satèl·lit en l’instant d’emissió del senyal. El temps de viatge del senyal es podria obtenir restant el temps en l’instant que rebem el senyal menys el temps en l’instant d’emissió. Multiplicant per la velocitat de la llum, el temps de viatge ens donaria la distància D al satèl·lit. Com que el satèl·lit també ens hauria enviat la seva posició a l’espai, podríem concloure (amb un únic satèl·lit) que segur que ens trobem en algun punt de l’esfera que té el centre a la posició del satèl·lit i radi D. Amb més d’un satèl·lit, el mateix raonament ens donaria per a cada satèl·lit una esfera sobre la que ens hem de trobar, i podríem calcular la nostra posició tot intersecant aquestes esferes (podem afegir a més la superfície de la Terra si sabem que estem tocant de peus a terra). Val a dir que és bo tenir informació redundant de molts satèl·lits perquè així podem reduir errors i calcular, amb algorismes de mínims quadrats, un punt que es trobi el més prop possible de les esferes de tots els satèl·lits que observem. Però malauradament tot plegat és una mica més complicat perquè els rellotges dels GPS evidentment no són atòmics. Sabem amb molta precisió l’instant d’emissió dels senyals, però l’instant de recepció el sabem amb una precisió molt més baixa. El problema és més complicat, però la solució no és massa més difícil. Suposem que estem veient 5 satèl·lits. Fem el càlcul com abans, restant el temps que ens dóna el rellotge del GPS del temps en l’instant d’emissió que ens arriba amb el senyal, i obtenim un radi d’esfera per a cada satèl·lit: D1, D2, …, D5. Aquests radis són incorrectes, però sabem que l’error és el mateix en tots ells, perquè és degut a un error en la mesura del temps de recepció, que és el minuend en totes les restes. Per tant podem assegurar que els radis correctes seran D1+d, D2+d, …, D5+d on el valor desconegut d depèn de l’error en el rellotge del GPS. Cal trobar el valor òptim de d. Aquest valor  és el que fa que els punts d’intersecció entre tots els possibles conjunts de tres esferes siguin el més propers possibles entre ells. Cal observar que en el cas de 5 esferes, podem formar deu conjunts diferents de 3 esferes cada un (les combinacions de 5 elements escollits de 3 en 3) i per tant, haurem de trobar el valor de d que apropi el màxim possible aquests deu punts. Cal tenir també en compte que cada conjunt de tres esferes intersecta en dos punts, però que un d’ells és a l’espai exterior i no és vàlid. Un cop hem calculat el valor d, calculem el punt d’intersecció de totes les esferes i ja hem resolt el càlcul de la nostra posició. Podeu comprovar que, si no imposem res més, el càlcul es pot fer si veiem un mínim de 4 satèl·lits. Però si sabem, per exemple que estem caminant o que anem en cotxe, el nombre mínim de satèl·lits baixa a tres perquè el càlcul es pot limitar a cercar punts sobre la superfície de la Terra.

En resum: podem saber on som gràcies a la geometria, als satèl·lits, a la informàtica i als algorismes d’optimització…