S’acosten festes. Tots tenim fills, néts, nebots o amics que tenen fills. Amb dos talls de cartró i amb menys temps del que costa fer el sopar, si voleu podreu  construir un rellotge de sol equatorial amb què podreu experimentar i ajudar els nens a entendre el moviment aparent del sol i les estacions de l’any. Us animeu?

Els ingredients són un tros de cartró, un regle, una esquadra i un semicercle graduat.

Comencem tallant dues peces de cartró com les que veieu planes damunt la taula, a la imatge: un triangle i un rectangle. Tallem un triangle rectangle amb una base AC de 20 centímetres i l’angle recte al punt C. La base del rectangle serà de 28 centímetres. Us podeu ajudar amb l’esquadra per aconseguir que els angles quedin ben rectes. Però, quan mesurem les alçades abans de tallar el cartró, hem de tenir en compte que depenen de la latitud del lloc on som. L’alçada L del triangle (distància entre B i C) es pot veure que és de 18.4 cm. a Vielha, 18.2 cm. a Cadaqués, 17.4 cm. a Barcelona o 17.2 centímetres a Amposta. A qualsevol altre lloc podem deduir un valor aproximat per interpolació, o bé calcular el valor exacte a partir de les fórmules corresponents (vegeu nota al final). Haurem de fer el mateix per saber l’alçada del rectangle, que ha de ser de 13.6 cm. a Vielha, 13.5 a Cadaqués, 13.1 a Barcelona o 13 centímetres a Amposta.

Passem ara a fer els talls perquè les peces encaixin. Marquem primer les línies on farem els dos talls. Al triangle (ho podem fer amb l’ajut de l’esquadra) marquem la recta perpendicular a l’aresta AB que passa pel punt C. Al rectangle, marquem la vertical pel punt mig de la base, Q. Fem un tall fins la meitat de cada una d’aquestes dues línies per poder encaixar després les dues peces tal com es veu al rellotge ja construït a la part superior de la imatge. Finalment, situem el semicercle graduat sobre la base del rectangle i amb el seu centre al punt Q, i marquem línies cada 15 graus, a més de la línia dels 90 graus que ja teníem. Aquest marcat de línies cada 15 graus s’ha de repetir també a la cara de sota del rectangle, amb el semicercle novament centrat al punt Q.

Encaixem ara les dues peces fent que quedin perpendiculars, i ja tenim el rellotge acabat. Els experiments els farem amb el rellotge damunt d’una taula horitzontal. Els costats que quedaran damunt la taula (com podeu veure a la foto) són la base AC del triangle i la base del rectangle que és oposada al punt Q. Només cal orientar-lo adequadament. Ho podem aconseguir amb una brúixola, fent que el triangle quedi orientat en direcció nord-sud amb els punts B i C mirant al nord i el punt A dirigit al sud. Però, si no tenim brúixola, també el podem orientar tot “posant-lo en hora” amb l’hora solar (vegeu el darrer paràgraf de la nota al final). L’hora solar és aproximadament una hora menys que l’hora oficial en horari d’hivern i dues hores menys a l’estiu. Encara que si ho fem així acabem cometent alguns errors (vegeu nota al final), aquests no afecten pas els resultats dels experiments que podrem fer.

El primer que podrem veure és que el moviment aparent del sol al cel és sempre, estiu i hivern, un moviment regular i uniforme al voltant de l’aresta inclinada del triangle (l’aresta AB). Això passa perquè l’aresta AB és paral·lela a l’eix de rotació de la terra. La terra és la que realment gira. De fet és fàcil veure que, a més, el pla del rectangle ens ha quedat paral·lel a l’equador de la terra. Com que el sol cada dia gira 360 graus, el gir que fa cada hora és de 360/24=15 graus. Si tenim el rellotge ben orientat, al migdia – hora solar – el triangle no fa ombra. Però a mesura que passa el temps, l’ombra de l’aresta AB sobre el rectangle gira uniformement i cada hora que passa va coincidint amb cada una de les ratlletes que hem marcat amb separació de 15 graus. No cal dir que podem subdividir aquests intervals de 15 graus tant com vulguem (sobretot si hem acabat fent el rellotge a una escala més gran) per mesurar quarts d’hora o fraccions de temps més petites. Podeu repetir aquest experiment a l’estiu o a l’hivern i veureu que sempre passa el mateix. L’ombra gira amb precisió astronòmica, a raó de 15 graus cada hora (només amb petites correccions degudes a l’equació del temps, però que són imperceptibles dia a dia).

Si deixeu el rellotge a la intempèrie a una zona on es pugui veure bé el cel i sortiu a mirar-lo una nit estrellada, comprovareu que l’aresta AB apunta cap l’Estrella Polar. Quan mirem la Polar, estem mirant en la direcció de l’eix de rotació de la terra. Les estrelles no fan ombra, però el seu moviment aparent és també d’un gir de gairebé 15 graus cada hora al voltant de la nostra aresta AB. Per cert, sabíeu que el temps que cal perquè les estrelles tornin a passar, al cap d’un dia, per la mateixa posició del cel, és de 23 hores, 56 minuts i 4 segons? (per això abans he usat la paraula “gairebé”). Per què no és de 24 hores? Aquí teniu més informació sobre el dia sideral, el dia solar mitjà i el dia solar vertader.

I a més, el nostre rellotge ens indica les estacions de l’any. A la primavera i a l’estiu (exactament, entre l’equinocci de primavera i el de tardor) el sol és alt i il·lumina la cara superior de la nostra peça rectangular de cartró. A la resta de l’any (tardor i hivern) la cara superior queda a l’ombra i el sol il·lumina la cara de sota. Per això hem marcat els angles de 15 graus a les dues cares: el rectangle té una cara de primavera-estiu i una cara de tardor-hivern…

Acabo amb un experiment una mica més difícil. Ara necessitareu una canyeta de les de beure orxata i un filferro d’uns 40 centímetres. Doblegueu el filferro per la meitat. Us ha de quedar formant dos trams rectes d’uns 20 cm., amb un angle agut entre ells de 67 graus. Poseu ara la canyeta damunt l’aresta AB, i entreu-hi un dels dos trams rectes del filferro de manera que l’angle us quedi a l’extrem superior de la canyeta, prop del punt B. Gireu el filferro (la palleta us fa de coixinet) al voltant de l’aresta AB. Esteu simulant el moviment de la direcció en la que veiem el sol al llarg del dia, ara que al desembre som prop del solstici d’hivern. La direcció del sol cada dia descriu un con, una paperina imaginària, centrada a l’eix AB. Ja teniu un simulador del moviment aparent del sol. Podeu fer el mateix qualsevol altre dia de l’any, però haureu de tornar a doblegar el filferro i canviar l’angle. Als equinoccis, aquest angle ha de ser de 90 graus mentre que al solstici d’estiu l’haureu de doblegar formant un angle greu de 113.43 graus. La màxima diferència entre l’angle de dobleg i els 90 graus és igual a la inclinació de l’eix de la terra respecte l’eclíptica, 23.43 graus.

Nota: L’alçada L del triangle és D*tangent(Lat), on D és la mesura de la base AC (en el nostre cas, 20 cm.) i l’angle Lat és la latitud geogràfica del lloc on som. De la mateixa manera, l’alçada del rectangle és D*sinus(Lat). D’altra banda, és clar que podem fer el rellotge més gran, si volem que sigui més precís. Les dimensions que us he proposat fan que les dues peces de cartró siguin més petites que un full A4, i per tant les podem portar a qualsevol carpeta. Però evidentment podem fer D=30 cm., D=40 cm. o fer D tan gran com vulguem.

Pel que fa a l’hora solar, he dit que és aproximadament una hora menys a l’horari d’hivern i dues hores menys a l’horari d’estiu perquè no estic tenint en compte l’equació del temps i tampoc no estic considerant la longitud geogràfica del lloc on som. A Cadaqués i a Vielha, el sol no passa pas pel seu punt àlgid al cel a la mateixa hora. Als diferents llocs d’un mateix fus horari, l’hora civil és la mateixa però l’hora solar no: l’hora solar depèn de la longitud geogràfica del lloc. A l’estiu, a Vielha hi passa a les 13 hores i 58 minuts, mentre que a Cadaqués ho fa a les 13 hores i 47 minuts. El sol surt abans a Cadaqués i es pon més tard a Vielha…